10-29【李良攀】五教5102 华罗庚讨论班特邀报告

时间:2019-10-22

报告人:李良攀 (山东大学)

时间:10月29日晚7:30

地点:五教5102


Title: 漫谈微积分领域微观层面的四项工作 

Abstract: 

本次报告将讨论一个概念,一套理论,一个初等证明,一条定理。

这四项工作的前两项是Nicolas Fardin与报告人合作完成,第三项是报告人独立完成,第四项可参见2002年Jean Saint Raymond发表在Mathematika的文章。

以下是这四项工作的大体先容。

(1)      当大家讨论连续函数的基本性质的时候,大家需要首先给出连续函数的定义。同理,当大家使用三角函数的时候,大家需要预先给出三角函数的定义。遗憾的是,绝大多数微积分教材(潜意识)遗漏 了这个问题。认真考虑过三角函数定义的数学家非常少,包括Kodaira和Hardy。Hardy甚至称这是分析学的一个“致命缺陷”(fatal defect)。本次报告将说明如何化解此缺陷,关键在于分清定性概念和定量计算之间的差异。

(2)      微积分教材先容实数主要有三种方案,一是Dedekind的有理数分割理论(如诸多前苏联人采用),二是Cantor的有理数Cauchy列等价类理论(如Terence Tao采用),三是公理化方案 (如大多数编辑采用)。这三种方案难以完美说明对于给定的两个十进制无限 小数如何做四则运算这一基础性问题。Weierstrass是第一个从十进制角度来考虑构造实数的数学家 ,也曾有很多数学家为此付出了巨大的努力,而能够实质性走出困局的过往仅有华罗庚先生一人。华罗庚先生在其《高等数学引论》第一卷开篇即给出了加法和减法的直观定义,但却没有讨论乘法和除法。吴文俊先生在2010年的一篇纪念文章中曾经预言华罗庚先生开创的实数构造道路可以完成。本次报告将先容如何实现吴文俊先生的预言,并展示一种以十进制无限小数构造理论为核心的实数教学方案(含Heine-Borel有限开覆盖定理以外的所有实数系基本定理)。

(3)      大家将给出多元微积分领域之隐函数定理的一个初等(非泛函分析Banach压缩映像原理之应用)直接(非反函数定理之推论)非归纳(历史上的第一个证明采用归纳法)的简洁证明。有兴趣的初级听众可以此为基础给出反函数定理的初等的直接(非隐函数定理之推论)证明,并由此推演出重积分的变量代换公式。这项工作的另一个意义在于即使盯着Spivak或Munkres的经典名著关于反函数定理的初等证明看100遍,也难以像做习题一样解决隐函数定理。这确实是一个饶有趣味的现象,报告人的确有一个新颖的观察,不妨称之为手表观察。

(4)      为了保持一定的神秘感,本次摘要不具体描述此条定理。当报告人第一次看到这条定理的时候,被其所深深的震撼。这是一项融分析(可微),代数(非奇异矩阵),拓扑(道路连通性)于一身的杰出工作。  报告人相信这条定理达到了写入数学系《数学分析》课程的标准。Terence Tao的博客也曾先容过这条定理。


本次报告不设任何门槛,欢迎一切数学爱好者参与。大家特别欢迎一年级新生和微积分同行的参与。


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